沈忠华,于秀源.关于数论函数$\sigma(n)$的一个注记[J].数学研究及应用,2007,27(1):123~129
关于数论函数$\sigma(n)$的一个注记
A Note on Arithmetic Function $\sigma(n)$
投稿时间:2005-02-07  修订日期:2005-04-29
DOI:10.3770/j.issn:1000-341X.2007.01.017
中文关键词:  亲和数  完全数  方程  正整数解.
英文关键词:amicable number  perfect number  equation  positive integer solution.
基金项目:国家自然科学基金(10271037; 10671051); 浙江省自然科学基金(M103060); 浙江省教育厅科研基金和杭州师范学院科研基金(2006XNZ03).
作者单位
沈忠华 杭州师范学院数学系, 浙江 杭州 310012 
于秀源 杭州师范学院数学系, 浙江 杭州 310012
衢州学院数学系, 浙江 衢州 324000 
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中文摘要:
      对于两个不相同的正整数$m$和$n$, 如果满足$\sigma(m)=\sigma(n)=m+n$, 则称之为一对亲和数, 这里$\sigma(n)=\sum_{d|n}d$.本文给出了$f(x,y)=x^{2^{x}}+y^{2^{x}}(x>y\geq{1},(x,y)=1)$不与任何正整数构成亲和数对的结论, 这里$x$,$y$具有不同的奇偶性, 即, 关于$z$的方程$\sigma(f(x,y))=\sigma(z)=f(x,y)+z$不存在正整数解.
英文摘要:
      Two distinct positive integers $m$ and $n$ are called amicable if $\sigma(m)=\sigma(n)=m+n$, where $\sigma(n)=\sum_{d\mid{n}}d$. This paper proves that $f(x,y)$ is not part of an amicable pair, where $f(x,y)=x^{2^{x}}+y^{2^{x}},x>y\geq{1},(x,y)=1$, one of $x$ and $y$ is odd number, the other is even. Hence, equation $\sigma(f(x,y))+\sigma(z)=f(x,y)+z$ has no positive integer solutions.
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