On $p$-Cover-Avoid and $S$-Quasinormally Embedded Subgroups in Finite Groups

DOI：10.3770/j.issn:1000-341X.2010.04.019

 作者 单位 何宣丽 中山大学数计学院, 广州 广东 510275; 2. 广西大学数学与信息科学学院, 广西 南宁 530004 王燕鸣 岭南大学及中山大学数计学院, 广州 广东 510275

设$G$是一个有限群，$p$是整除$G$的阶的一个最小素因子, $P$是$G$的一个Sylow $p$-子群。如果$d$是$P$的最小生成元个数，那么$P$有$d$个极大子群$P_1$, $P_2$,$\cdots$, $P_d$使得它们的交是$P$的$Frattini$子群$\Phi(P)$，用符号${\cal M}_d(P)$表示极大子群$P_1$, $P_2$,$\cdots$, $P_d$的集合。在本文中，我们将证明如果${\cal M}_d(P)$中的极大子群在$G$中或是$p$-覆盖远离的或是$S$-拟正规嵌入的，那么$G$是$p$-幂零的。利用此结果，我们可得到一些更深的结论。

Let $G$ be a finite group, $p$ the smallest prime dividing the order of $G$ and $P$ a Sylow $p$-subgroup of $G$. If $d$ is the smallest generator number of $P$, then there exist maximal subgroups $P_1$, $P_2$,\,$\ldots$\,, $P_d$ of $P$, denoted by ${\cal M}_d(P)=\lbrace P_1,\ldots, P_d\rbrace$, such that $\bigcap_{i=1}^d P_i=\Phi(P)$, the Frattini subgroup of $P$. In this paper, we will show that if each member of some fixed ${\cal M}_d(P)$ is either $p$-cover-avoid or $S$-quasinormally embedded in $G$, then $G$ is $p$-nilpotent. As applications, some further results are obtained.