On $w$-Linked Overrings

DOI：10.3770/j.issn:1000-341X.2011.02.018

 作者 单位 谢林 四川师范大学数学与软件科学学院, 四川 成都 610068 王芳贵 四川师范大学数学与软件科学学院, 四川 成都 610068 田艳 四川师范大学数学与软件科学学院, 四川 成都 610068

$R\subseteq T$是交换环扩张. 若$T$作为$R$-模是$w$-模, 则称$T$是$R$上的$w$-linked. 若还有$R\subseteq T\subseteq Q_0(R)$, 则称$T$是$R$上的一个$w$-linked扩环. 设$R$是约化环, 作为Wang-McCsland-Park-Chang定理的一个推广, 证明了$R$是$w$-Noether环且$w$-${\rm dim}(R)\leqslant 1$当且仅当$R$的每个$w$-linked扩环$T$是$w$-Noether环且$w$-${\rm dim}(T)\leqslant 1.$ 特别地, $R$是$w$-Noether环且$w$-${\rm dim}(R)\leqslant 0$当且仅当$R$是Artin环.

Let $R\subseteq T$ be an extension of commutative rings. $T$ is called $w$-linked over $R$ if $T$ as an $R$-module is a $w$-module. In the case of $R\subseteq T\subseteq Q_0(R)$, $T$ is called a $w$-linked overring of $R$. As a generalization of Wang-McCsland-Park-Chang Theorem, we show that if $R$ is a reduced ring, then $R$ is a $w$-Noetherian ring with $w$-$\dim(R)\leqslant 1$ if and only if each $w$-linked overring $T$ of $R$ is a $w$-Noetherian ring with $w$-$\dim(T)\leqslant 1$. In particular, $R$ is a $w$-Noetherian ring with $w$-$\dim(R)=0$ if and only if $R$ is an Artinian ring.