海进科,李正兴.有限群在特征为零的任意域上的表示的一些注记[J].数学研究及应用,2011,31(3):437~442
有限群在特征为零的任意域上的表示的一些注记
Remarks on Representations of Finite Groups over an Arbitrary Field of Characteristic Zero
投稿时间:2009-04-17  最后修改时间:2009-09-15
DOI:10.3770/j.issn:1000-341X.2011.03.007
中文关键词:  $\Gamma_K$-作用  $\Gamma_K$-类  正交关系.
英文关键词:$\Gamma_K$-action  $\Gamma_K$-classes  orthogonality relations.
基金项目:国家自然科学基金(Grant No.10771132),山东省自然科学基金(Grant No.Y2008A03).
作者单位
海进科 青岛大学数学科学学院, 山东 青岛 266071 
李正兴 青岛大学数学科学学院, 山东 青岛 266071 
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中文摘要:
      设$G$是一个有限群,$K$是特征为零的域.众所周知,如果$K$是$G$的分裂域,则$G$是交换群当且仅当它的任意$K$-不可约表示是一次的.在本文中,我们将上面这个结果推广到特征为零的任意域$K$的情形(即$K$不必是$G$的分裂域),并且我们也得到了在这种情形下$G$的不可约$K$-特征标的正交关系. 我们的结果推广了一些著名定理.
英文摘要:
      Let $G$ be a finite group and $K$ a field of characteristic zero. It is well-known that if $K$ is a splitting field for $G$, then $G$ is abelian if and only if any irreducible representation of $G$ has degree 1. In this paper, we generalize this result to the case that $K$ is an arbitrary field of characteristic zero (that is, $K$ need not be a splitting field for $G$), and we also obtain the orthogonality relations of irreducible $K$-characters of $G$ in this case. Our results generalize some well-known theorems.
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