宋小军,曾嵘,穆春来.带非局部阻尼项的粘弹性方程解的衰减估计[J].数学研究及应用,2012,32(1):53~62
带非局部阻尼项的粘弹性方程解的衰减估计
General Decay of Solutions in a Viscoelastic Equation with Nonlinear Localized Damping
投稿时间:2010-03-21  最后修改时间:2011-01-12
DOI:10.3770/j.issn:2095-2651.2012.01.007
中文关键词:  衰减率  粘弹性方程  松弛函数.
英文关键词:general decay  viscoelastic equation  relaxation function.
基金项目:中央高校基本科研业务费资助 (Grant No.CJDXS10100016).
作者单位
宋小军 西华师范大学数学与信息学院, 四川 南充 637002 
曾嵘 重庆大学数学与统计学院, 重庆 401331 
穆春来 重庆大学数学与统计学院, 重庆 401331 
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中文摘要:
      在本文中我们研究了在 Dirichlet 边界条件下的一类带阻尼项的粘弹性方程的边值问题$$u_{tt} -\Delta u+\int_0^t {g(t-s)\Delta u(s)ds} +a(x)u_t +u\left| u\right|^r=0.$$ 方程的能量函数的的衰减性质与松弛函数在无穷远处的性质密切相关。在文献 [3,7,11] 中,要求松弛函数 $g(t)$ 在无穷远处满足指数或多项式形式的衰减。最近作者 Messaoudi 在文献 [12,13] 中证明了对更广泛的一类松弛函数,能量函数的衰减率相同于松弛函数的衰减率.受他工作的启发,通过引入一个新的摄动能量函数对上面的方程我们也得到了相同也文献 [12,13] 中的结果.
英文摘要:
      In this paper, we consider the following viscoelastic equation $$u_{tt} -\Delta u+\int_0^t {g(t-s)\Delta u(s)\d s} +a(x)u_t +u\left| u\right|^r=0$$ with initial condition and Dirichlet boundary condition.\,The decay property of the energy function closely depends on the properties of the relaxation function $g(t)$ at infinity. In the previous works of [3,7,11], it was required that the relaxation function $g(t)$ decay exponentially or polynomially as $t\rightarrow +\infty$. In the recent work of Messaoudi [12,13], it was shown that the energy decays at a similar rate of decay of the relaxation function, which is not necessarily dacaying in a polynomial or exponential fashion. Motivated by [12,13], under some assumptions on $g(x)$, $a(x)$ and $r$, and by introducing a new perturbed energy, we also prove the similar results for the above equation.
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