孙翠芳,程智.关于商高数的Je\'{s}manowicz猜想[J].数学研究及应用,2015,35(2):143~148
关于商高数的Je\'{s}manowicz猜想
On Je\'{s}manowicz' Conjecture Concerning Pythagorean Triples
投稿时间:2014-08-26  最后修改时间:2014-11-24
DOI:10.3770/j.issn:2095-2651.2015.02.004
中文关键词:  Je'smanowicz猜想  丢番图方程
英文关键词:Je\'{s}manowicz' conjecture  Diophantine equation
基金项目:安徽师范大学项目培育基金(Grant Nos.2012xmpy009; 2014xmpy11),安徽省自然科学基金(Grant No.1208085QA02).
作者单位
孙翠芳 安徽师范大学数学计算机科学学院, 安徽 芜湖 241003 
程智 安徽师范大学数学计算机科学学院, 安徽 芜湖 241003 
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中文摘要:
      设$(a,b,c)$是本原商高数组, 1956年Je'smanowicz猜想对任意正整数$n$, 丢番图方程$(an)^x+(bn)^y=(cn)^z$仅有正整数解$(x,y,z)=(2,2,2)$. 设素数$p\equiv 3\pmod 4$, $s$ 是正整数. 本文中我们证明了当$(a,b,c)=(4p^{2s}-1,4p^{s},4p^{2s}+1)$并且满足某些整除条件时, 该猜想是正确的.
英文摘要:
      Let $(a,b,c)$ be a primitive Pythagorean triple. Je\'{s}manowicz conjectured in 1956 that for any positive integer $n$, the Diophantine equation $(an)^x+(bn)^y=(cn)^z$ has only the positive integer solution $(x,y,z)=(2,2,2)$. Let $p\equiv 3\pmod 4$ be a prime and $s$ be some positive integer. In the paper, we show that the conjecture is true when $(a,b,c)=(4p^{2s}-1,4p^{s},4p^{2s}+1)$ and certain divisibility conditions are satisfied.
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