方芩,李豪杰,徐敏.基于Legendre多项式的数值微分: 加权$L^2$空间中的收敛性分析[J].数学研究及应用,2016,36(2):247~252
基于Legendre多项式的数值微分: 加权$L^2$空间中的收敛性分析
Legendre Polynomials-Based Numerical Differentiation: A Convergence Analysis in a Weighted $L^2$ Space
投稿时间:2015-07-19  最后修改时间:2015-10-21
DOI:10.3770/j.issn:2095-2651.2016.02.014
中文关键词:  Legendre多项式  数值微分  Jacobi多项式  加权$L^2$空间
英文关键词:Legendre polynomials  numerical differentiation  Jacobi polynomials  weighted $L^2$ space
基金项目:国家自然科学基金(Grant Nos.11301052; 11301045; 11401077;11271060; 11290143), 中央高校基本科研专项资金(Grant No.DUT15RC(3)058), 民用飞机基础研究(Grant No.MJ-F-2012-04).
作者单位
方芩 大连大学信息工程学院, 辽宁 大连 116622 
李豪杰 大连大学信息工程学院, 辽宁 大连 116622 
徐敏 大连理工大学数学科学学院, 辽宁 大连 116024 
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中文摘要:
      我们研究利用$f^{\delta}$的Fourier-Legendre级数部分和的导数近似函数$f$的导数问题, 其中$f^{\delta}$表示噪音版本的$f$.我们在一个加权$L^2$空间中执行重建过程, 而不是在观测$L^2$空间. 这充分地利用了Legendre多项式的性质进而导致了收敛阶的轻微改进.最后, 我们用几个数值例子来说明所提方法的效率.
英文摘要:
      We consider the problem of estimating the derivative of a function $f$ from its noisy version $f^{\delta}$ by using the derivatives of the partial sums of Fourier-Legendre series of $f^{\delta}$. Instead of the observation $L^2$ space, we perform the reconstruction of the derivative in a weighted $L^2$ space. This takes full advantage of the properties of Legendre polynomials and results in a slight improvement on the convergence order. Finally, we provide several numerical examples to demonstrate the efficiency of the proposed method.
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