On the Depth and Hilbert Series of the Fiber Cone

DOI：10.3770/j.issn:1000-341X.2010.02.021

 作者 单位 朱广俊 苏州大学数学科学学院, 江苏 苏州 215006

设$(R,\frak{m})$是一个$d$维的Cohen-Macaulay局部环, 具有无限的剩余类域, $I$是一个$\frak{m}$-准素理想,$K$是包含$I$的一个理想. 设$J$是$I$的一个极小约化, 如果存在某个正整数$k$, 使得当$n\le k-1$时, 有$KI^n\cap J=JKI^{n-1}$成立, 且$\lambda(\frac{KI^{k}}{JKI^{k-1}})=1$. 在depth$G(I)\ge d-2$的条件下,我们证明纤维锥$F_K(I)$具有几乎极大深度. 当depth$G(I)\ge d-1$时, 我们还计算了$F_K(I)$的Hilbert级数.

Let $(R,\frak{m})$ be a Cohen-Macaulay local ring of dimension $d$ with infinite residue field, $I$ an $\frak{m}$-primary ideal and $K$ an ideal containing $I$. Let $J$ be a minimal reduction of $I$ such that, for some positive integer $k$, $KI^n\cap J=JKI^{n-1}$ for $n\le k-1$ and $\lambda(\frac{KI^{k}}{JKI^{k-1}})=1$. We show that if depth $G(I)\ge d-2$, then such fiber cones have almost maximal depth. We also compute, in this case, the Hilbert series of $F_K(I)$ assuming that depth $G(I)\ge d-1$.