廖群英.有限域上的本原最优正规元[J].数学研究及应用,2010,30(5):869~875
有限域上的本原最优正规元
On Primitive Optimal Normal Elements of Finite Fields
投稿时间:2008-12-15  最后修改时间:2009-03-17
DOI:10.3770/j.issn:1000-341X.2010.05.014
中文关键词:  有限域  正规基  本原元  最优正规基.
英文关键词:finite fields  normal bases  primitive elements  optimal normal bases.
基金项目:国家自然科学科研重大项目 (Grant No.10990011),教育部博士点专项基金新教师课题基金 (Grant No.20095134120001), 四川省教育厅自然科学科研重点项目 (Grant No.09ZA087).
作者单位
廖群英 四川师范大学数学与软件科学学院, 四川 成都 610066 
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中文摘要:
      设$q$为素数的幂, $F_{q^{n}}$是$q$元有限域$F_{q}$的$n(n>1)$次扩张. Davenport, Lenstra以及Schoof等人曾证明了: 存在$F_{q^{n}}$中的本原元素$\alpha$使得$\alpha$生成$F_{q^{n}}$在$F_{q}$上的一组正规基. 随后, Mullin, Gao以及Lenstra等人, 提出了最优正规基的概念并给出了这种正规基的构造. 本文给出了全部的本原I型最优正规基, 以及所有这样的有限扩域$F_{q^{n}}/F_{q}$: $F_{q^{n}}$中存在一对互逆的元素$\alpha,\alpha^{-1}$使得$\alpha$和$\alpha^{-1}$均生成$F_{q^{n}}$在$F_{q}$上的最优正规基. 最后, 我们给出了本原II型最优正规基存在的一个充分条件, 并且证明了所有的本原最优正规元是彼此共轭的.
英文摘要:
      Let $q$ be a prime or prime power and $F_{q^{n}}$ the extension of $q$ elements finite field $F_{q}$ with degree $n~(n>1)$. Davenport, Lenstra and Schoof proved that there exists a primitive element $\alpha\in F_{q^{n}}$ such that $\alpha$ generates a normal basis of $F_{q^{n}}$ over $F_{q}$. Later, Mullin, Gao and Lenstra, etc., raised the definition of optimal normal bases and constructed such bases. In this paper, we determine all primitive type I optimal normal bases and all finite fields in which there exists a pair of reciprocal elements $\alpha$ and $\alpha^{-1}$ such that both of them generate optimal normal bases of $F_{q^{n}}$ over $F_{q}$. Furthermore, we obtain a sufficient condition for the existence of primitive type II optimal normal bases over finite fields and prove that all primitive optimal normal elements are conjugate to each other.
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