许绍镇,燕敦验.$L^p$函数的分布函数在端点处的极限性质[J].数学研究及应用,2016,36(2):177~182
$L^p$函数的分布函数在端点处的极限性质
Limiting Property of the Distribution Function of $L^p$ Function at Endpoints
投稿时间:2015-03-15  最后修改时间:2015-07-08
DOI:10.3770/j.issn:2095-2651.2016.02.006
中文关键词:  Hardy-Littlewood极大函数  极限行为  分布函数
英文关键词:Hardy-Littlewood maximal function  limiting behavior  distribution function
基金项目:国家自然科学基金 (Grant Nos.11471309; 11271162; 11561062).
作者单位
许绍镇 中国科学院大学数学科学学院, 北京 101408 
燕敦验 中国科学院大学数学科学学院, 北京 101408 
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中文摘要:
      本文考虑了$L^p$函数的分布函数在$0$和$\infty$这两个端点处的极限性质,同时证明了如下两个等式$$\lim_{\lambda \to +\infty}\lambda^p m(\{x:|f(x)|>\lambda\})=0,~~\lim_{\lambda \to 0^+}\lambda^p m(\{x:|f(x)|>\lambda\})=0$$对于任何$f\in L^p(\mathbb{R}^n)$和$1\leq p<\infty$成立. 本结果可自然推广到许多$(p,q)$ 型算子.
英文摘要:
      We consider the limiting property of the distribution function of $L^p$ function at endpoints $0$ and $\infty$ and prove that for $\lambda>0$ the following two equations $$\lim_{\lambda \to +\infty}\lambda^p m(\{x:|f(x)|>\lambda\})=0,~~\lim_{\lambda \to 0^+}\lambda^p m(\{x:|f(x)|>\lambda\})=0$$ hold for $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$ with $1\leq p<\infty$. This result is naturally applied to many operators of type $(p,q)$ as well.
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