Necessary and Sufficient Conditions for Boundedness of Commutators of Bilinear Fractional Integral Operators on Morrey Spaces

DOI：10.3770/j.issn:2095-2651.2016.06.010

 作者 单位 何随心 新疆大学数学与系统科学学院, 新疆 乌鲁木齐 830046 周疆 新疆大学数学与系统科学学院, 新疆 乌鲁木齐 830046

在本文中,我们得到了双线性分数次交换子由乘积Morrey空间$L^{p_1,\lambda_1}(\mathbb{R}^n)\times L^{p_2,\lambda_2}(\mathbb{R}^n)$到$L^{q,\lambda}(\mathbb{R}^n)$有界,当且仅当$b$属于BMO空间,其中$p,q,\lambda,\mu$满足一定的条件.同时,我们也证明了双线性分数次交换子由乘积Morrey空间 $L^{p_1,\lambda_1}(\mathbb{R}^n)\times L^{p_2,\lambda_2}(\mathbb{R}^n)$到$L^{q,\lambda}(\mathbb{R}^n)$, 当且仅当$b$属于Lipschitz空间,其中$p,q,\lambda,\mu$满足另一合适的条件.

In this paper, we obtain that $b\in {\rm BMO}(\mathbb{R}^n)$ if and only if the commutator $[b,I_{\alpha}]$ is bounded from the Morrey spaces $L^{p_1,\lambda_1}(\mathbb{R}^n)\times L^{p_2,\lambda_2}(\mathbb{R}^n)$ to $L^{q,\lambda}(\mathbb{R}^n)$, for some appropriate indices $p,q,\lambda,\mu$. Also we show that $b\in {\rm Lip}_{\beta}(\mathbb{R}^{n})$ if and only if the commutator $[b,I_{\alpha}]$ is bounded from the Morrey spaces $L^{p_1,\lambda_1}(\mathbb{R}^n)\times L^{p_2,\lambda_2}(\mathbb{R}^n)$ to $L^{q,\lambda}(\mathbb{R}^n)$, for some appropriate indices $p,q,\lambda,\mu$.